スピアマンの順位相関係数の導出のメモになります。
導出
$n$個のデータに対する2種類の値をそれぞれ$x_1,\cdots,x_n$と$y_1,\cdots,y_n$とします。
そして、それらを何らかの方法で並べたときの順位をあらわす関数を$x_i$に対しては$R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$、$y_i$に対しては$S: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$と定義します。なお、もしも同じ数が与えられたときは、適当に異なる順位をつけるとしておきます。$R$と$S$は順位をあらわす自然数に写す関数であるため全射です。
また$R(x_1),\cdots,R(x_n)$の平均を$\bar{R}$、標準偏差を$\sigma_R$、$S(y_1),\cdots,S(y_n)$の平均を$\bar{S}$、標準偏差を$\sigma_S$とします。
いまやりたいことは$x_1,\cdots, x_n$と$y_1,\cdots, y_n$に対するスピアマンの順位相関係数を求めることです。 スピアマンの順位相関係数$r$は$R(x_1),\cdots, R(x_n)$と$S(y_1),\cdots, S(y_n)$に対するピアソンの相関係数になりますので、次のようにあらわされます。
$$ \begin{align*} r &= \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (R(x_i) - \bar{R})(S(y_i) - \bar{S}) }{\sigma_R \sigma_S}. \end{align*} $$
上式は次のように整理できます。 $$ \begin{align*} r &= \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (R(x_i)S(y_i) -\bar{S}R(x_i) -\bar{R}S(y_i) + \bar{R}\bar{S}) }{\sigma_R \sigma_S} \\ &= \frac{\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n R(x_i)S(y_i)) -\bar{S}\bar{R} -\bar{R}\bar{S} + \bar{R}\bar{S} }{\sigma_R \sigma_S} \\ &= \frac{\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n R(x_i)S(y_i)) -\bar{R}\bar{S} }{\sigma_R \sigma_S}. \end{align*} $$
ここで、$d_i= R(x_i) - S(y_i)$とおくと、
$$ \begin{align*} r &= \frac{\frac{1}{n}\left\{\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}(R(x_i)^2 -2 R(x_i)S(x_i) + S(y_i)^2 - d_i^2) + R(x_i)S(y_i)\right\} -\bar{R}\bar{S} }{\sigma_R \sigma_S} \\ &= \frac{\frac{1}{n}\left\{\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}(R(x_i)^2 + S(y_i)^2 - d_i^2)\right\} -\bar{R}\bar{S} }{\sigma_R \sigma_S} \end{align*} $$ となります。
$R$と$S$の定義から、$\bar{R}=\bar{S}$と$\sigma_R = \sigma_S$が成り立つので、上式は以下のように変形できます。 $$ \begin{align*} r &= \frac{\frac{1}{n}\left\{\sum_{i=1}^n R(x_i)^2 - \frac{1}{2}d_i^2 \right\} -\bar{R}^2 }{\sigma_R^2} \\ &= \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n R(x_i)^2 -\bar{R}^2 - \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n d_i^2 }{\sigma_R^2} \\ &= \frac{\sigma_R^2 - \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n d_i^2 }{\sigma_R^2} \\ &= 1 - \frac{\sum_{i=1}^n d_i^2 }{2n\sigma_R^2}. \end{align*} $$
もう少し式を整理することができます。$\sigma_R^2$に着目するとこの部分は $$ \begin{align*} \sigma_R^2 &= \mathbb{E}[R(x)^2] - \bar{R}^2 \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2 - \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^2 \\ &= \frac{n^2-1}{12} \end{align*} $$ とわかります。このことから、次のスピアマンの順位相関係数が導かれます。 $$ \begin{align*} r &= 1 - \frac{6\sum_{i=1}^n d_i^2 }{n^3 - n}. \end{align*} $$