スピアマンの順位相関係数の導出のメモになります。

導出

$n$個のデータに対する2種類の値をそれぞれ$x_1,\cdots,x_n$と$y_1,\cdots,y_n$とします。
そして、それらを何らかの方法で並べたときの順位をあらわす関数を$x_i$に対しては$R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$、$y_i$に対しては$S: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$と定義します。なお、もしも同じ数が与えられたときは、適当に異なる順位をつけるとしておきます。$R$と$S$は順位をあらわす自然数に写す関数であるため全射です。
また$R(x_1),\cdots,R(x_n)$の平均を$\bar{R}$、標準偏差を$\sigma_R$、$S(y_1),\cdots,S(y_n)$の平均を$\bar{S}$、標準偏差を$\sigma_S$とします。